Наверх
Решения Теория Задачник Идеи для учителя Заказать обучение

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, причем n>=3. а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 15? б) Найдите все значения n, если сумма всех данных чисел равна 51.

Решение:

n - количество членов арифметической прогрессии.

а) Чтобы ответить на первый вопрос достаточно подобрать несколько чисел таким образом, чтобы в сумме они давали 15 (причем их количество как минимум равно трем). Не забываем, что у нас арифметическая прогрессия, значит, эти числа увеличиваются на одно и тоже число.

Если сложить числа 4, 5 и 6, то в сумме они равны 15. Эти числа составляют арифметическую прогрессию с разностью d = 1.

б) Вспомним формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии и выразим из нее сумму первого и последнего члена.

Обратите внимание, что 2S/n является натуральным, т.к. складываем мы натуральные числа.

По условию задачи, сумма чисел равна 51, т.е.

Число 102 нацело делится на n = 1; 2; 3; 6; 17; 34; 51; 102.

n = 1 и n = 2 можем сразу откинуть, т.к. n ≥ 3.

Если n = 3, то а1 + аn = 34. Подберем три таких числа а1, а2 и а3, чтобы а1 + а2 + а3 = 51 и а1 + а3 = 34:      3, 17, 31.

Если n = 6, то а1 + аn = 17. Подберем шесть таких чисел а1, а2, а3, а4, а5 и а6 чтобы а1 + а+ а3 + а4 + а5 + а6 = 51 и а1 + а6 = 17:       6, 7, 8, 9, 10, 11.

Если n = 17, то а1 + аn = 6. В этом случае мы не сможем подобрать 17 натуральных чисел таким образом, чтобы в сумме они давали 6. Аналогично при n = 34; 51; 102.

Ответ: а) да, например, 4, 5, 6;   б) n = 3, n = 6.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#638

ТОП 15 примеров из раздела "Логические задачи"

Список заданий викторины состоял из 40 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 171 очко, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
#755
На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 15 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.
#570
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок от начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 4 прыжка?
#571
Про натуральные числа А, В и С известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем умножили на А, потом прибавили к полученному произведению В и вычли С. Получилось 164. Какое число было загадано?
#756
Среднее арифметическое 8 различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?
#757
Дано трехзначное число, не кратное 100. а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 50? б) Какое наибольшее натуральное значение может принимать частное данного числа и суммы его цифр?
#601
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, причем n>=3. а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 15? б) Найдите все значения n, если сумма всех данных чисел равна 51.
#638
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 36? б) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 134568931 так, чтобы получилось число, кратное 36?
#592
Множество называется удивительным, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел. а) Является ли множество {1000; 1001; ...; 1199} удивительным? б) Сколько удивительных пятиэлементных подмножеств у множества {1; 2; 3; 4; 5; 10; 11}?
#589
5 кинокритиков оценивают новый сериал. Каждый из них выставляет оценку – целое число от 0 до 10, причем известно, что все кинокритики выставили различные оценки. Для первого сайта рейтинг сериала считается как среднее арифметическое оценок всех кинокритиков, а для второго сайта – как среднее арифметическое всех оценок, кроме самой низкой и самой высокой. а) Может ли разность рейтингов данного сериала на первом и втором сайтах равняться 1/15? б) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов данного сериала на первом и втором сайтах.
#588