Углы В и С треугольника равны соответственно 67° и 83°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 16.

Дано:

ΔАВС - вписанный

окр. (О; ОА)

ОА = 16

∠В = 67°

∠С = 83°

Найти: ВС.

Решение:

По теореме о сумме углов в треугольнике найдем угол А: ∠А = 180° - ∠В - ∠С = 180° - 67° - 83° = 30°.

∠А является вписанным, поэтому дуга ВС, на которую он опирается, в два раза больше угла А, т.е. дуга ВС = 30° * 2 = 60°.

∠ВОС так же опирается на дугу ВС, но является центральным, поэтому он будет равен дуге ВС: ∠ВОС = 60°.

Рассмотрим  ΔАВС:

ОВ = ОС (радиусы окружности), значит ΔАВС - равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, т.е.

∠ОВС = ∠ОСВ = (180° - ∠ВОС) : 2 = (180° - 60°) : 2 = 60°. Следовательно, ΔОВС - равносторонний, значит ВС = ОВ = ОС = 16.

Ответ: 16.

Похожую задачу, но с другой технологией решения, можно посмотреть, пройдя по ссылке:

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 8.

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.